Question

16．△ABC中，$2acos（A-\frac{π}{3}）=bcosC+ccosB$．
（1）求A；
（2）若$a=\sqrt{3}$，求b+c范围．

Answer 1

分析 （1）已知等式利用正弦定理化简，整理后即可确定出A的度数；
（2）利用余弦定理列出关系式，把a与cosA的值代入并利用基本不等式求出b+c的范围，再利用三角形三边关系即可确定出满足题意b的范围．

解答 解：（1）∵将ccosB+bcosC=2acosA，利用正弦定理化简得：sinBcosC+sinCcosB=2sinAcos（A-$\frac{π}{3}$），
∴sin（B+C）=sinA=2sinAcos（A-$\frac{π}{3}$），
∵sinA≠0，
∴cos（A-$\frac{π}{3}$）=$\frac{1}{2}$，
∵A为三角形内角，
∴A=$\frac{2π}{3}$；
（2）由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA，
即3=b²+c²-bc=（b+c）²-3bc≥（b+c）²-$\frac{3（b+c）^{2}}{4}$=$\frac{（b+c）^{2}}{4}$，
即（b+c）²≤12，
解得：-2$\sqrt{3}$≤b+c≤2$\sqrt{3}$，
∵b+c＞a=$\sqrt{3}$，
∴b+c的范围为$\sqrt{3}$＜b+c≤2$\sqrt{3}$．

点评 此题考查了余弦定理，基本不等式的运用，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．