Question

5．数列{a_n}的通项公式为${a_n}=\frac{1}{{{{（n+1）}^2}}}$，设f（n）=（1-a₁）（1-a₂）…（1-a_n），试求f（1），f（2），f（3），f（4）的值，推导出f（n）的公式，并证明．

Answer 1

分析 利用递推关系猜想并利用数学归纳法即可得出．

解答 解：f（1）=1-a₁=1-$\frac{1}{{2}^{2}}$=$\frac{3}{4}$，
同理可得：f（2）=$\frac{4}{6}$，f（3）=$\frac{5}{8}$，f（4）=$\frac{6}{10}$，
猜想：f（n）=$\frac{n+2}{2（n+1）}$，
证明如下：
（1）当n=1时，f（1）=$\frac{3}{4}$=$\frac{1+2}{2×（1+1）}$，公式成立．
（2）假设当n=k时成立，即f（k）=$\frac{k+2}{2（k+1）}$．
那么f（k+1）=f（k）（1-a_k+1）=$\frac{k+2}{2（k+1）}$$[1-\frac{1}{（k+2）^{2}}]$=$\frac{（k+1）+2}{2[（k+1）+1]}$．
由（1）（2）可知，f（n）=$\frac{n+2}{2（n+1）}$，对任何n∈N^*都成立．

点评 本题考查了猜想、数学归纳法、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．