Question

4．若直线ax+by-1=0（其中a＞0且b＞0）被圆x²+y²-4x-2y+1=0截得的弦长为16，则$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{b}$的最小值为（　　）

• A． 16
• B． 8
• C． 4
• D． 2

Answer 1

分析 由题意直线ax+by-1=0（其中a＞0且b＞0）经过圆心（2，1），从而2a+b=1，进而$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}$=（$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}$）（2a+b），由此能求出$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{b}$的最小值．

解答 解：∵圆x²+y²-4x-2y+1=0的圆心为（2，1），半径r=$\frac{1}{2}\sqrt{16+4-4}$=8，
∴直线ax+by-1=0（其中a＞0且b＞0）经过圆心（2，1），
∴2a+b=1，
∴$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}$=（$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}$）（2a+b）=$\frac{4a}{b}+\frac{b}{a}+4$≥$2\sqrt{\frac{4a}{b}•\frac{b}{a}}$+4=8．
当且仅当$\frac{4a}{b}=\frac{b}{a}$时取等号，
∴$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{b}$的最小值为8．
故选：B．

点评 本题考查代数式的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质和基本不等式的合理运用．