Question

6．在圆内接四边形ABCD中，AC与BD交于点E，过点A作圆的切线交CB的延长线于点F，若AB=AD，AD∥FC，AF=18，BC=15，求AE的长．

Answer 1

分析 由切割线定理，求出FB，再证明四边形ADBF为平行四边形，求出AD=AB，利用$\frac{AE}{18-AE}$=$\frac{AD}{BC}$，可求AE的长．

解答 解：∵AF是圆的切线，且AF=18，BC=15，
∴由切割线定理知AF²=FB•FC，即18²=FB•（FB+15），解得FB=12．
∵AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB．
又∵AF是圆的切线，
∴∠FAB=∠ADB．
则∠FAB=∠ABD，
∴AF∥BD，
又∵AD∥FC，
∴四边形ADBF为平行四边形，------------------（5分）
∴AD=FB=12．
又∠ACF=∠ADB=∠F，
∴AC=AF=18．
∵AD∥FC，
∴$\frac{AE}{18-AE}$=$\frac{AD}{BC}$，解得AE=8．-----------------------------（10分）

点评 本题考查与圆有关的比例线段，考查切割线定理，考查学生的计算能力，属于中档题．