Question

13．求下列函数的值域：
（1）f（x）=2sin（x+$\frac{π}{6}$），-$\frac{π}{2}$≤x≤$\frac{π}{2}$
（2）y=cos²x-sinx．

Answer 1

分析 （1）根据x的取值范围，求出x+$\frac{π}{6}$的取值范围，从而求出y的值域；
（2）把函数y化为sinx的二次函数，根据sinx的有界性求出y的最大、最小值．

解答 解：（1）由-$\frac{π}{2}$≤x≤$\frac{π}{2}$，得-$\frac{π}{3}$≤x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{2π}{3}$，…（1分）
所以$-\frac{{\sqrt{3}}}{2}≤sin（x+\frac{π}{6}）≤1$，…（4分）
所以$-\sqrt{3}≤2sin（x+\frac{π}{6}）≤2$，
故函数y的值域为$[-\sqrt{3}，2]$；  …（6分）
（2）∵y=cos²x-sinx
=1-sin²x-sinx
=-${（sinx+\frac{1}{2}）}^{2}$+$\frac{5}{4}$，
且sinx∈[-1，1]；…（9分）
∴当$sinx=-\frac{1}{2}$时，y取得最大值y_max=$\frac{5}{4}$；
当sinx=1时，y取得最小值y_min=-1；…（11分）
∴函数y的值域为[-1，$\frac{5}{4}$]． …（12分）

点评 本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题．