Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，PD=AB=2，E，F，G分别是PC，PD，BC的中点．（1）求证：平面PAB∥平面EFG；
（2）求直线EG与平面PAD所成角的余弦值；
（3）求平面EFG与平面ABCD所成的角．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,平面与平面平行的判定,直线与平面所成的角

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）根据已知条件可得到EF∥AB，EG∥PB，所以EF∥平面PAB，EG∥平面PAB，所以平面PAB∥平面EFG；
（2）EG∥PB，所以EG与平面PAD所成角等于PB与平面PAD所成角，容易说明AB⊥平面PAD，所以∠APB是直线PB与平面PAD所成角，根据已知条件可求得PA，PB，所以该角的余弦值能够求出；
（3）根据（1）平面EFG∥平面PAB，所以平面EFG与平面ABCD所成的角等于平面PAB和平面ABCD所成角，并且容易找到平面PAB和平面ABCD所成角的平面角∠PAD，并且该角的值为45°．

解答： 解：（1）如图，由已知条件知：EF∥AB，AB?平面PAB，∴EF∥平面PAB，同理，EG∥平面PAB，EF∩EG=E；
∴平面EFG∥平面PAB，即平面PAB∥平面EFG；
（2）∵EG∥PB，∴EF与平面PAD所成角等于PB与平面PAD所成角；
∵PD⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，∴PD⊥AB，即AB⊥PD，又AB⊥AD；
∴AB⊥平面PAD，∴∠APB是直线PB和平面PAD所成角；
∴在Rt△PAB中，AB=2，PA=2

2

，PB=

12

=2

3

；
∴cos∠APB=

PA

PB

=

2 2

2 3

=

6

3

；
∴直线EG与平面PAD所成角的余弦值为

6

3

；
（3）由（1）知平面EFG∥平面PAB，∴平面EFG与平面ABCD所成的角等于平面PAB与平面ABCD所成角；
由（2）知PA⊥AB，AD⊥AB；
∴∠PAD是平面PAB和平面ABCD所成二面角的平面角；
由已知条件知，PD=AD，PD⊥AD，∴∠PAD=45°；
∴平面EFG与平面ABCD所成的角为45°．

点评：考查中位线的性质，线面平行的判定定理，面面平行的判定定理，线面角的定义，以及二面角、二面角的平面角的概念．