Question

已知函数f（x）=x+

a

x

-a
（1）若方程f（x）=0有正根，求实数a的取值范围；
（2）设函数g（x）=|sinx•f（sinx）-sinx|，且g（x）在区间[0，

π

2

]上不单调，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：根的存在性及根的个数判断

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据方程f（x）=0有正根，转化为方程x²-ax+a=0有正根，对方程进行有异号根，和两正根或一零根一正根进行讨论，即可求得实数a的取值范围．
（2）利用换元法将函数进行转化，根据a的取值情况，结合二次函数的单调性的性质即可得到结论．

解答： 解：（1）方程f（x）=0有正根?方程x²-ax+a=0有正根．△=a²-4a
①当△=0，即a=0或a=4时，经检验a=4符合题意．
②当△＞0，即a＞4或a＜0时，设方程x²-ax+a=0的两个根为x₁、x₂，
∵a＞4时，使得

x1+x2＞0 x1x2＞0

成立，
∴a＞4符合题意，
∵a＜0时，使得x₁x₂＜0成立，
∴a＜0符合题意．
综上，a≥4或a＜0
（2）设t=sinx，∵x∈[0，

π

2

]，∴t∈[0，1]，
则函数g（x）等价为y=m（t）=|tf（t）-t|在区间[0，1]上不单调．
即m（t）=|t（t+

a

t

-a）-t|=|t²-（a+1）t+a|=|（t-1）（t+a）|在区间[0，1]上不单调，
在方程（t-1）（t+a）=0的两个根为t=1或t=-a，
若-a≥1，即a≤-1，此时函数m（t）在（-∞，1]上单调递减，不满足条件．
若-a＜1，即a＞-1，要使m（t）=|tf（t）-t|在区间[0，1]上不单调，
则对称轴t=-

-(a+1)

2

=

a+1

2

∈（0，1），
即0＜

a+1

2

＜1，即-1＜a＜1，
即实数a的取值范围是（-1，1）．

点评：本题主要考查函数单调性的应用，利用换元法是解决本题的关键．注意要对a进行分类讨论．