Question

已知函数m（x）=log₄（4^x+1），n（x）=kx（k∈R）．
（1）若F（x）为R上的奇函数，且当x＞0时，F（x）=m（x），求当x＜0时F（x）的表达式；
（2）已知f（x）=m（x）+n（x）为偶函数．
①求k的值；
②设g（x）=log₄（a•2^x-

4

3

a），若函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：对数函数图象与性质的综合应用,函数奇偶性的性质

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：（1）运用奇偶性求解运算，得解析式．
（2）f（x）=m（x）+n（x）为偶函数．运用定义恒成立求解．函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，方程log₄ (4x+1)-

1

2

x=log₄（a•2^x-

4

3

a）只有一个解，即log

4x+1 2x 4

=log

(a•2x- 4 3 a) 4

，方程等价于

a•2x- 4 3 a＞0 4x+1 2x =a•2x- 4 3 a

．设 2^x=t＞0，则（a-1）t²-

4

3

at-1=0有一正根，构造函数，分类讨论求解的出答案．

解答： 解：（1）设x＜0，则-x＞0，∴F（-x）=m（-x）=log

4-x+1 4

，
∵F（x为R上的奇函数，∴F（-x）=-F（x），
∴F（x）=-log

(4-x+1) 4

（x＜0）
（2）①∵函数f（x）=log

(4x+1) 4

+kx是偶函数，
∴f（-x）=log

(4-x+1) 4

-kx=log（

1+4x

4x

）-kx
=log

(4x+1) 4

-（k+1）x=log₄（4^x+1）+kx=f（-x）（恒成立）．
∴-（k+1）=-k，则k=-

1

2

．                             
②∵函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，
∴方程f（x）=g（x）只有一个解
即方程log₄ (4x+1)-

1

2

x=log（a•2^x-

4

3

a）只有一个解，
∴log

4x+1 2x 4

=log

(a•2x- 4 3 a) 4

，
 方程等价于

a•2x- 4 3 a＞0 4x+1 2x =a•2x- 4 3 a

．                       
设t=2^x，t＞0，则（a-1）t²-

4

3

at-1=0有一正根，
（ⅰ）若a-1＞0，设h（t）=（a-1）t²-

4

3

at-1，
∵h（0）=-1＜0，∴恰好有一正根，∴a＞1满足题意； 
（ⅱ）若a-1=0，则方程根为t=-

3

4

＜0，不满足题意；   
（ⅲ）若a-1＜0，即a＜1时，由△=（-

4

3

a）²+4（a-1）=0，得a=-3或a=

3

4

，
当a=-3时，方程有根t=

1

2

满足题意，
当a=

3

4

时，方程有根t=-2（舍去）．                    
综上所述，实数a的取值范围是{a|a＞1或a=-3}

点评：本题综合考查了对数函数的性质，奇偶性的性质，运算化简比较麻烦，需要的能力较多．