Question

已知cos（x+y）=

1

3

，cos（x-y）=

2

3

，且0＜x＜

π

2

，

π

3

＜y＜

π

2

．
（1）求cos2x；
（2）求tanx•tany．

Answer 1

考点：两角和与差的余弦函数

专题：计算题,三角函数的求值

分析：（1）根据角的范围和同角三角函数关系式先求得：sin（x+y），sin（x-y）的值，从而化简所求cos2x=cos[（x+y）+（x-y）]=cos（x+y）cos（x-y）-sin（x+y）sin（x-y），即可代入求值．
（2）由cos（x+y）=

1

3

，cos（x-y）=

2

3

，可得：

cosxcosy-sinxsiny= 1 3 cosxcosy+sinxsiny= 2 3

  即可解得所求．

解答： 解：（1）由0＜x＜

π

2

，

π

3

＜y＜

π

2

得

π

3

＜x+y＜π，-

π

2

＜x-y＜

π

6

故sin(x+y)=

2 2

3

．（3分）
而：若0＜x-y＜

π

6

，则cos(x-y)∈(

3

2

，1)，此时cos(x-y)=

2

3

不可能．故有：
-

π

2

＜x-y≤0，此时sin（x-y）=-

5

3

 （4分）
故cos2x=cos[（x+y）+（x-y）]=cos（x+y）cos（x-y）-sin（x+y）sin（x-y）=

2+2 10

9

． （5分）
（2）cos（x+y）=

1

3

，cos（x-y）=

2

3

，
可得：

cosxcosy-sinxsiny= 1 3 cosxcosy+sinxsiny= 2 3

  （7分）
解得：

cosxcosy= 1 2 sinxsiny= 1 6

，可得tanxtany=

1

3

．（10分）

点评：本题主要考察了两角和与差的余弦函数公式的应用，属于基础题．