Question

已知数列{a_n}的首项a₁=

2

3

，a_n+1a_n+a_n+1=2a_n，n=1，2，3…
（1）求证数列{

1

an

-1}为等比数列；
（2）求数列{

n

an

}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等比关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由a_n+1a_n+a_n+1=2a_n，变形为1+

1

an

=

2

an+1

，可得

1

an+1

-1=

1

2

(

1

an

-1)，即可证明；
（2）由（1）可得：

1

an

-1=

1

2

×(

1

2

)n-1=(

1

2

)n，

n

an

=n+

n

2n

．设T_n=

1

2

+

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

，利用“错位相减法”可得T_n，即可得出数列{

n

an

}的前n项和S_n=T_n+

n(n+1)

2

．

解答： （1）证明：∵a_n+1a_n+a_n+1=2a_n，
∴1+

1

an

=

2

an+1

，
∴

1

an+1

-1=

1

2

(

1

an

-1)，
又a1=

2

3

，∴

1

a1

-1=

1

2

．
∴数列{

1

an

-1}为等比数列；

（2）解：由（1）可得：

1

an

-1=

1

2

×(

1

2

)n-1=(

1

2

)n，化为

1

an

=1+(

1

2

)n，
∴

n

an

=n+

n

2n

．
设T_n=

1

2

+

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

，

1

2

Tn=

1

22

+

2

23

+

3

24

+…+

n-1

2n

+

n

2n+1

，
∴

1

2

Tn=

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

-

n

2n+1

=

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

-

n

2n+1

=1-

2+n

2n+1

，
∴T_n=2-

2+n

2n

，
∴数列{

n

an

}的前n项和S_n=T_n+

n(n+1)

2

=2+

n2+n

2

-

2+n

2n

．

点评：本题考查了等比数列与等差数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”，考查了变形能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题．