Question

已知二次函数y=ax²+bx+c的最大值为2，图象的顶点在直线y=x+1上，并且图象经过点（3，-2）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）当0≤x≤3时，求二次函数的最大值与最小值，并求此时x的值．

Answer 1

考点：二次函数在闭区间上的最值,函数解析式的求解及常用方法

专题：函数的性质及应用

分析：（1）利用二次函数的性质设出二次函数为y=a（x-1）²+2，再根据图象经过点（3，-2），求得a的值，可得函数的解析式．
（2）因为y=-（x-1）²+2，0≤x≤3，利用二次函数的性质求得它的最值．

解答： 解：（1）因为最大值为2，图象的顶点在直线y=x+1上，所以顶点坐标为（1，2），
设二次函数为y=a（x-1）²+2，根据图象经过点（3，-2），
所以-2=4a+2，解得a=-1，
所以二次函数为y=-（x-1）²+2．
（2）因为y=-（x-1）²+2，0≤x≤3，
所以当x=1时，y的最大值为2，
当x=3时，y的最小值为-2．

点评：本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，二次函数的性质的应用，属于中档题．