题目内容
11．证明：$\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×5}+…+\frac{1}{（n+1）（2n+1）}＜\frac{5}{12}$．分析 运用$\frac{1}{（n+1）（2n+1）}$＜$\frac{1}{2n（n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），将原不等式的左边从第二项开始放缩，由不等式的性质即可得证．
解答 证明：由$\frac{1}{（n+1）（2n+1）}$＜$\frac{1}{2n（n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
可得$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×5}$+…+$\frac{1}{（n+1）（2n+1）}$＜$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）
=$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+1}$）=$\frac{5}{12}$-$\frac{1}{2（n+1）}$＜$\frac{5}{12}$．
则原不等式成立．
点评 本题考查不等式的证明，注意运用裂项相消和放缩法，考查推理和运算能力，属于中档题．
练习册系列答案
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1．老师带甲乙丙丁四名学生去参加自主招生考试，考试结束后老师向四名学生了解考试情况，
四名学生回答如下：
甲说：“我们四人都没考好”；
乙说：“我们四人中有人考的好”；
丙说：“乙和丁至少有一人没考好”；
丁说：“我没考好”．
结果，四名学生中有两人说对了，则四名学生中（ ） 两人说对了．
四名学生回答如下：
甲说：“我们四人都没考好”；
乙说：“我们四人中有人考的好”；
丙说：“乙和丁至少有一人没考好”；
丁说：“我没考好”．
结果，四名学生中有两人说对了，则四名学生中（ ） 两人说对了．
| A． | 甲 丙 | B． | 乙 丁 | C． | 丙 丁 | D． | 乙 丙 |
3．已知函数f（x）=$\sqrt{3}$sin2x-2cos2x，下面结论中错误的是（ ）
| A． | 函数f（x）的最小正周期为π | |
| B． | 函数f（x）的图象关于直线x=$\frac{π}{3}$对称$ | |
| C． | 函数f（x）在区间[0，$\frac{π}{4}$]上是增函数 | |
| D． | 函数f（x）的图象可由g（x）=2sin2x-1的图象向右平移$\frac{π}{6}$个单位得到 |