题目内容
19．在直角坐标系xOy中，曲线C1：$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+tcosα}\\{1+tsinα}\end{array}\right.$（t为参数，其中0≤α＜π）．以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2：ρ+$\frac{9}{ρ}$=4cosθ-6sinθ（ρ＞0）（I）当α=$\frac{3π}{4}$时，设曲线C1与C2交于A、B两点，求|AB|；
（Ⅱ）已知曲线C1过定点P，Q是曲线C2上的动点，求|PQ|的取值范围．
分析 （I）求出曲线C2的普通方程，将直线C1的参数方程代入C2的普通方程，利用参数的几何意义和根与系数的关系求出|AB|；
（II）求出P到圆C2的圆心的距离和圆的半径r，判断P与圆的位置关系，根据位置关系得出最大值和最小值．
解答 解：（I）当α=$\frac{3π}{4}$时，曲线C1的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-1-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=1+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数）．
∵曲线C2的极坐标方程为ρ+$\frac{9}{ρ}$=4cosθ-6sinθ，即ρ2-4ρcosθ+6ρsinθ+9=0．
∴曲线C2的直角坐标方程为x2+y2-4x+6y+9=0，
把$\left\{\begin{array}{l}{x=-1-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=1+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$代入x2+y2-4x+6y+9=0，整理得t2+7$\sqrt{2}$t+21=0，
∴t1+t2=-7$\sqrt{2}$，t1t2=21．
∴|AB|=|t1-t2|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$=$\sqrt{14}$．
（II）P（-1，1），曲线C2的标准方程为（x-2）2+（y+3）2=4，
∴曲线C2表示圆心为M（2，-3），半径为2的圆．
∴PM=$\sqrt{（2+1）^{2}+（-3-1）^{2}}$=5，
∴3≤|PQ|≤7．
点评 本题考查了参数方程，极坐标方程与普通方程的转化，直线与圆，点与圆的位置关系，属于中档题．
名校课堂系列答案| A． | P（（A1+A2）|$\overline{B}$）=P（A1|$\overline{B}$）+P（A2|$\overline{B}$） | B． | P（A1B+A2B）=P（A1B）+P（A2B） | ||
| C． | P（A1+A2）=P（A1|B）+P（A2|B） | D． | P（B）=P（A1）P（B|A1）+P（A2）P（B|A2） |
| A． | $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$ | B． | $\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$ | C． | $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{3}=1$ | D． | $\frac{x^2}{4}-{y^2}=1$ |
| A． | $[{\frac{{\sqrt{3}}}{2}，1}]$ | B． | $[{\sqrt{3}，2}]$ | C． | $[{\frac{{\sqrt{5}}}{2}，\frac{{\sqrt{6}}}{2}}]$ | D． | $[{\sqrt{5}，\sqrt{6}}]$ |