Question

1．在一次招聘中，主考官要求应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，并独立完成所抽取的3道题．甲能正确完成其中的4题，乙能正确完成每道题的概率为$\frac{2}{3}$，且每道题完成与否互不影响，规定至少正确完成2道题便可过关．
（1）记所抽取的3道题中，甲答对的题数为X，求X的分布列和期望；
（2）记乙能答对的题数为Y，求Y的分布列、期望和方差．

Answer 1

分析 （1）由题意得X的可能取值为1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和期望．
（2）由题意Y的可能取值为0，1，2，3，且Y～B（3，$\frac{2}{3}$），由此能求出Y的分布列、期望和方差．

解答 解：（1）主考官要求应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，并独立完成所抽取的3道题．
甲能正确完成其中的4题，所抽取的3道题中，甲答对的题数为X，
由题意得X的可能取值为1，2，3，
$P（X=1）=\frac{C_4^1C_2^2}{C_6^3}=\frac{1}{5}$，
$P（X=2）=\frac{C_4^2C_2^1}{C_6^3}=\frac{3}{10}$，
$P（X=3）=\frac{C_4^3C_2^0}{C_6^3}=\frac{1}{5}$，
∴X的分布列为：

X	1	2	3
P	0.2	0.3	0.2

E（X）=0.2+0.6+0.6=1.4．…（6分）
（2）主考官要求应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，并独立完成所抽取的3道题，
乙能正确完成每道题的概率为$\frac{2}{3}$，且每道题完成与否互不影响，
由题意Y的可能取值为0，1，2，3，且Y～B（3，$\frac{2}{3}$），
P（Y=0）=$（\frac{1}{3}）^{3}$=$\frac{1}{27}$，
P（Y=1）=${C}_{3}^{1}（\frac{2}{3}）（\frac{1}{3}）^{2}$=$\frac{6}{27}$，
P（Y=2）=${C}_{3}^{2}（\frac{2}{3}）^{2}（\frac{1}{3}）$=$\frac{12}{27}$，
P（Y=3）=${C}_{3}^{3}（\frac{2}{3}）^{3}$=$\frac{8}{27}$，
∴Y的分布列为：

Y	0	1	2	3
P	$\frac{1}{27}$	$\frac{6}{27}$	$\frac{12}{27}$	$\frac{8}{27}$

E（Y）=$0×\frac{1}{27}+1×\frac{6}{27}+2×\frac{12}{27}+3×\frac{8}{27}$=2，
D（Y）=（0-2）²×$\frac{1}{27}$+（1-2）²×$\frac{6}{27}$+（2-2）²×$\frac{12}{27}$+（3-2）²×$\frac{8}{27}$=$\frac{2}{3}$．…（12分）

点评 本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望和方差的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意二项分布的性质的合理运用．