Question

16．若?x，y∈（0，+∞），恒有$\frac{x}{2x+y}$$+\frac{y}{x+2y}$≤a≤$\frac{x}{x+2y}$$+\frac{y}{2x+y}$，则常数a=$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 由题意可令x=y，推得a=$\frac{2}{3}$，再由作差法，化简和配方，结合恒成立思想即可得到结论．

解答 解：由题意可设x=y，可得$\frac{2}{3}$≤a≤$\frac{2}{3}$，
即有a=$\frac{2}{3}$，
由$\frac{x}{2x+y}$$+\frac{y}{x+2y}$-$\frac{2}{3}$=（$\frac{x}{2x+y}$-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{y}{x+2y}$-$\frac{1}{3}$）=$\frac{x-y}{3（2x+y）}$+$\frac{y-x}{3（x+2y）}$
=-$\frac{（x-y）^{2}}{3（2x+y）（x+2y）}$≤0，
即有$\frac{x}{2x+y}$$+\frac{y}{x+2y}$≤$\frac{2}{3}$，则a≥$\frac{2}{3}$；
由$\frac{x}{x+2y}$$+\frac{y}{2x+y}$-$\frac{2}{3}$=（$\frac{x}{x+2y}$-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{y}{y+2x}$-$\frac{1}{3}$）
=$\frac{2（x-y）}{3（x+2y）}$+$\frac{2（y-x）}{3（y+2x）}$=$\frac{2（x-y）^{2}}{3（x+2y）（y+2x）}$≥0，
可得$\frac{x}{x+2y}$$+\frac{y}{2x+y}$≥$\frac{2}{3}$，即有a≤$\frac{2}{3}$．
综上可得a=$\frac{2}{3}$．
故答案为：$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查不等式恒成立问题的解法，注意运用特值法引路，作差法证明，考查运算和推理能力，属于中档题．