题目内容
2．已知x，y，z均为正数，且x2+4y2+z2=3（1）证明：x+2y+z≤3；
（2）求2xy+2yz+zx的最大值．
分析 （1）由x，y，z均为正数，且x2+4y2+z2=3，运用柯西不等式和不等式的性质，即可得证；
（2）由x，y，z均为正数，且x2+4y2+z2=3，运用柯西不等式可得（2xy+2yz+zx）2≤（x2+4y2+z2）（4y2+z2+x2），即可求得最大值．
解答 解：（1）证明：由x，y，z均为正数，且x2+4y2+z2=3，
可得（x+2y+z）2≤（x2+4y2+z2）（1+1+1）=9，
可得x+2y+z≤3，当且仅当x=2y=z=1时，等号成立；
（2）x，y，z均为正数，且x2+4y2+z2=3，可得
（2xy+2yz+zx）2≤（x2+4y2+z2）（4y2+z2+x2）=9，
可得2xy+2yz+zx≤3，
当且仅当$\frac{x}{2y}=\frac{2y}{z}=\frac{z}{x}$即x=2y=z=1时，取得最大值3..
点评 本题考查不等式的证明和最值的求法，注意运用柯西不等式和不等式的性质，考查推理和运算能力，属于中档题．
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