Question

函数f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，且f（x）=

ax+b

1+x2

，f(1)=

1

2

，
（1）确定f（x）的解析式；  
（2）用定义法证明f（x）在[-1，1]上是增函数；
（3）解不等式f（x-1）+f（x）＜0．

Answer 1

考点：奇偶性与单调性的综合

专题：计算题,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（1）由奇函数的性质，f（0）=0，解得b=0，再由f（1），可得a=1，进而得到f（x）的解析式；
（2）运用定义证明，注意作差、变形、定符号和下结论等步骤；
（3）运用奇函数和单调性，不等式f（x-1）+f（x）＜0即为

-1≤x-1≤1 -1≤x≤1 x-1＜-x

，分别解出它们，即可得到．

解答： （1）解：由函数f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，
则f（0）=0，即有b=0，
由f（1）=

1

2

，即

a

1+1

=

1

2

，解得a=1，
则有f（x）=

x

x2+1

；
（2）证明：设-1≤m＜n≤1，
则f（m）-f（n）=

m

m2+1

-

n

n2+1

=

(m-n)(1-mn)

(m2+1)(n2+1)

，
由m＜n，则m-n＜0，
由-1≤m＜n≤1，则mn＜1，即1-mn＞0，
即有f（m）-f（n）＜0，即f（m）＜f（n）．
则f（x）在[-1，1]上是增函数；
（3）解：不等式f（x-1）+f（x）＜0，即为
f（x-1）＜-f（x）=f（-x），
即有

-1≤x-1≤1 -1≤x≤1 x-1＜-x

，即

0≤x≤2 -1≤x≤1 x＜ 1 2

，
即有0≤x＜

1

2

．
则解集为[0，

1

2

）．

点评：本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和证明，考查运算能力，属于中档题和易错题．