Question

已知f(x)=(

1

2x-1

+

1

2

)x3
（1）求f（x）的定义域；
（2）求证：f（x）＞0．

Answer 1

考点：函数的定义域及其求法

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据函数f（x）的解析式，得出分母 2^x-1≠0，求出x的取值范围；
（2）判断函数f（x）是定义域上的偶函数，再判断x＞0时f（x）＞0，由f（x）是偶函数，得出x＜0时f（x）＞0．

解答： 解：（1）∵f(x)=(

1

2x-1

+

1

2

)x3，
∴2^x-1≠0，解得x≠0，
∴函数f（x）的定义域为 {x|x∈R，且 x≠0}；
（2）∵函数f（x）的定义域关于原点对称，
且f（-x）=（

1

2-x-1

+

1

2

）（-x）³
=（

2x

1-2x

+

1

2

）（-x）³ 
=（

2x-1+1

1-2x

+

1

2

）（-x）³
=（-1+

1

1-2x

+

1

2

）（-x）³
=-（

1

2x-1

+

1

2

）（-x）³
=（

1

2x-1

+

1

2

）x³ =f（x），
∴函数f（x）为定义域上的偶函数；
又当x＞0时，

1

2x-1

+

1

2

＞

1

2

，x³＞0，
∴函数f（x）=（

1

2x-1

+

1

2

）x³ ＞0．
根据f（x）是定义域上的偶函数，
得x＜0时，函数f（x）=（

1

2x-1

+

1

2

）x³ ＞0；
即x∈（-∞，0）∪（0，+∞）时，f（x）＞0．

点评：本题考查了求函数的定义域以及判断函数的奇偶性和利用函数的奇偶性判断函数正负的问题，是综合性题目．