Question

已知正项数列{a_n}满足：a_n²-（n²+n-1）a_n-（n²+n）=0（n∈N₊），数列{b_n}的前n项和为S_n，且满足b₁=1，2S_n=1+b_n（n∈N₊）．
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）设c_n=

(2n+1)bn

an

，数列{c_n}的前n项和为T_n，求证：T_2n＜1．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件推导出[a_n-（n²+n）]（a_n+1）=0，由此能求出an=n2+n；由2S_n=1+b_n，得b_n=-b_n-1，由此能求出bn=(-1)n-1．
（2）由c_n=（-1）^n-1•

2n+1

n(n+1)

，推导出c_2n-1+c_2n=

1

2n-1

-

1

2n+1

，由此利用裂项求和法能证明T_2n=1-

1

2n+1

＜1．

解答： （1）解：∵a_n²-（n²+n-1）a_n-（n²+n）=0，
∴[a_n-（n²+n）]（a_n+1）=0．（2分）
∵{a_n}是正项数列，∴an=n2+n．（3分）
∵2S_n=1+b_n，∴当n≥2时，2S_n-1=1+b_n-1，两式相减得b_n=-b_n-1，（5分）
∴数列{b_n}是首项为1，公比-1的等比数列，∴bn=(-1)n-1，（7分）
（2）证明：∵c_n=

(2n+1)bn

an

=（-1）^n-1•

2n+1

n(n+1)

，（8分）
∴c_2n-1+c_2n=

4n-1

2n(2n-1)

-

4n+1

2n(2n+1)

=

(4n-1)(2n+1)-(4n+1)(2n-1)

2n(2n-1)(2n+1)

=

2

(2n-1)(2n+1)

=

1

2n-1

-

1

2n+1

，（11分）
∴T_2n=（c₁+c₂）+（c₃+c₄）+…+（c_2n-1+c_2n）
=

1

1

-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

=1-

1

2n+1

＜1．（14分）

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．