Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知c=1，C=

π

6

．
（Ⅰ）若a=

3

，求b的值；
（Ⅱ）求cosAcosB的取值范围．

Answer 1

考点：余弦定理

专题：三角函数的求值

分析：（Ⅰ）利用余弦定理列出关系式，将a，c，以及C度数代入，即可求出b的值；
（Ⅱ）由C的度数得到A+B的度数，用A表示出B代入cosAcosB中，利用两角和与差的余弦函数公式化简，整理后化为一个角的正弦函数，根据A的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的值域即可确定出范围．

解答： 解：（Ⅰ）∵c=1，C=

π

6

，a=

3

，
∴由余弦定理c²=a²+b²-2abcosC，即1=3+b²-3b，
整理得：b²-3b+2=0，
解得：b=1或b=2；
（Ⅱ）cosAcosB=cosA•cos（

5π

6

-A）
=cosA（-

3

2

cosA+

1

2

sinA）
=-

3

2

cos²A+

1

2

sinAcosA
=-

3

4

+

1

4

sin2A-

3

4

cos2A
=-

3

4

+

1

2

sin（2A-

π

3

），
∵0＜A＜

5π

6

，即-

π

3

＜2A-

π

3

＜

4π

3

，
∴-

3

2

＜sin（2A-

π

3

）≤1，
则cosAcosB的取值范围是（-

3

2

，

1

2

-

3

4

]．

点评：此题考查了余弦定理，以及两角和与差的正弦、余弦函数公式，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．