Question

在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l过点N（4，0），倾斜角为α．
（1）写出直线l的参数方程，及当α=

π

2

时，直线l的极坐标方程l′．
（2）已知从极点O作直线m与直线l′相交于点M，在OM上取一点P，使|OM|•|OP|=4，求点P的极坐标方程，并说明P的轨迹是什么曲线．

Answer 1

考点：简单曲线的极坐标方程

专题：选作题,坐标系和参数方程

分析：（1）直线l过点N（4，0），倾斜角为α，可得直线l的参数方程；
利用（2）在极坐标系中设出M和P的极坐标，转化为直角坐标，表示出|OM|•|OP|，因为|OM|•|OP|=4，加上条件l：pcosθ=4，列出方程求出ρ₂即可．

解答： 解：（1）∵直线l过点N（4，0），倾斜角为α，
∴直线l的参数方程为

x=4+tcosα y=tcosα

（t为参数），
当α=

π

2

时，直线l的极坐标方程l′：ρ=4cosθ．
（2）设M（ρ₁，θ），P（ρ₂，θ），
则M的直角坐标为（ρ₁cosθ，ρ₁sinθ），P的直角坐标为（ρ₂cosθ，ρ₂sinθ）
|OM|•|OP|=ρ₁ρ₂cos²θ+ρ₁ρ₂sin²θ，ρ₁cosθ=4，
所以|OM|•|OP|=4ρ₂cosθ+

4

cosθ

ρ₂sin²θ=3，
所以ρ₂=

1

cosθ+tanθsinθ

=cosθ
所以点P的轨迹是过点（1，0），倾斜角为

π

2

的直线．

点评：本题考查直线的参数方程、极坐标方程，考查学生极坐标与直角坐标的转化，以及怎样求点的轨迹方程的方法．