Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足S_n-2a_n+n=0（n∈N^*）
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足b_n=log₂（a_n+1）+1（n∈N^*），在b_k与b_k+1之间插入2^k（k∈N^*）个2，得到一个新的数列{c_m}．是否存在正整数m使得数列{c_m}的前m项的和T_m=2014？若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：（Ⅰ）在数列递推式中取n=1求得a₁=1，取n=n+1得另一递推式，作差后可得{a_n+1}是等比数列，由等比数列的通项公式得答案；
（Ⅱ）把{a_n}的通项公式代入b_n=log₂（a_n+1）+1，由题意得到b_k（含b_k项）前的所有项的和，再由T_m=2014求得m的值．

解答： 解：（Ⅰ）由S_n-2a_n+n=0  ①得：
S_n+1-2a_n+1+（n+1）=0  ②
②-①得，a_n+1+1=2（a_n+1）．
又在S_n-2a_n+n=0中取n=1得，a₁=1，
∴{a_n+1}是以a₁+1=2为首项，以2为公比的等比数列．
∴an+1=2n，
即an=2n-1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，b_n=log₂（a_n+1）+1=log2(2n-1+1)+1=n+1．
则在数列{c_m}中，b_k（含b_k项）前的所有项的和是：
（2+3+…+k+1）+（2¹+2²+…+2^n-1）=

k(k+3)

2

+2k+1-4．
当k=9时，其和是54+2¹⁰-4=1074＜2014，
当k=10时，其和为65+2¹¹-4=2109＞2014．
又∵2014-1074=940=2×470＜2×2⁹．
∴存在正整数m使得T_m=2014，
此时m=9+（2¹+2²+…+2⁸）+470=989．

点评：本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了等比数列前n项和的求法，是中档题．