Question

设椭圆

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）两顶点A（-b，0），B（b，0），短轴长为4，焦距为2，过点P（4，0）的直线l与椭圆交于C，D两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）求线段C，D中点Q的轨迹方程；
（3）若直线AC的斜率为1，在椭圆上求一点M，使三角形△MAC面积最大．

Answer 1

考点：轨迹方程,椭圆的标准方程,直线与圆锥曲线的关系

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）利用短轴长为4，焦距为2，求出几何量，即可求椭圆的方程；
（2）利用点差法，可求线段C，D中点Q的轨迹方程；
（3）设平行于AC的直线方程为y=x+m，代入椭圆方程，利用△=0，求出m，即可在椭圆上求一点M，使三角形△MAC面积最大．

解答： 解：（1）∵短轴长为4，焦距为2，
∴b=2，c=1，
∴a=

b2+c2

=

5

，
∴椭圆方程为

y2

5

+

x2

4

=1．…（3分）
（2）设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），Q（x，y），则

y12

5

+

x12

4

=1①，

y22

5

+

x22

4

=1②
∵过点P（4，0）的直线l与椭圆交于C，D两点，线段C，D中点Q
∴①-②可得

y

x-4

•

y

x

=-

5

4

，即5x²-20x+4y²=0（0≤x≤1）．…（8分）
（3）设平行于AC的直线方程为y=x+m，代入椭圆方程得9x²+8mx+4m²-20=0．
△=64m²-4•9•（4m²-20）=0，解得m=-3，m=3（舍）．
把m=-3代入上式解得x=

4

3

，从而解得M（

4

3

，-

5

3

）．…（11分）
把y=x+2代入椭圆方程整理得9x²+16x-4=0，
∴|AC|=

2

•

(- 16 9 )2+ 16 9

=

20 2

9

，AC边上高的最大值h=

5

2

，
∴△MAC面积最大值为

1

2

•

20 2

9

•

5

2

=

50

9

．…（14分）

点评：本题考查椭圆的方程，考查点差法的运用，考查三角形面积的计算，属于中档题．