Question

△ABC中，内角A、B、C所对边分别为a、b、c，己知A=

π

6

，c=

3

，b=1，
（1）求a的长及B的大小：
（2）若0＜x＜B，求函数f（x）=2sinxcosx+2

2

cos²x-

3

的值域．

Answer 1

考点：余弦定理,两角和与差的正弦函数

专题：三角函数的求值

分析：（1）利用余弦定理列出关系式，将b，c及cosA的值代入求出a的值，得到a=b，利用等边对等角得到A=B，即可求出B的度数；
（2）f（x）解析式利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，再利用两角和与差的正弦函数公式化简，根据x的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的值域即可确定出f（x）的值域．

解答： 解：（1）∵△ABC中，A=

π

6

，c=

3

，b=1，
∴由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA=1+3-2

3

×

3

2

=1，即a=1，
∴a=b=1，
∴B=A=

π

6

；
（2）f（x）=2sinxcosx+2

2

cos²x-

3

=sin2x+

3

cos2x=2sin（2x+

π

3

），
∵0＜x＜

π

6

，得到

π

3

＜2x+

π

3

＜

2π

3

，
∴

3

2

＜sin（2x+

π

3

）≤1，即

3

＜2sin（2x+

π

3

）≤2，
则函数的值域为（

3

，2]．

点评：此题考查了余弦定理，二倍角的正弦、余弦函数公式，以及正弦函数的值域，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．