Question

18．在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M为AA₁的中点，则A到面MBD的距离为$\frac{\sqrt{6}}{6}$．

Answer 1

分析 以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点A到面MBD的距离．

解答 解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，
建立空间直角坐标系，
则D（0，0，0），M（1，0，$\frac{1}{2}$），B（1，1，0），
A（1，0，0），
$\overrightarrow{DA}$=（1，0，0），$\overrightarrow{DM}$=（1，0，$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{DB}$=（1，1，0），
设平面DBM的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DM}=x+\frac{1}{2}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DB}=x+y=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-1，-2），
∴A到面MBD的距离d=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DA}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{6}}{6}$．

点评 本题考查点到平面的距离的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．