Question

10．已知函数f（x）=$\frac{a（x-1）}{{x}^{2}}$，a≠0
（I）求函数f（x）的单调区间；
（II）若直线x-y-1=0是曲线y=f（x）的切线，求实数a的值；
（III）设g（x）=xlnx-x²f（x），求g（x）在区间[1，e]上的最小值．（其中e为自然对数的底数）

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求导函数，通过讨论a，直接让导函数大于0求出增区间，导函数小于0求出减区间即可；
（Ⅱ）直接利用切线的斜率即为切点处的导数值以及切点是直线与曲线的共同点联立方程即可求实数a的值；
（Ⅲ）先求出g（x）的导函数，分情况讨论出函数在区间[1，e]上的单调性，进而求得其在区间[1，e]上的最小值．

解答 解：（Ⅰ）因为函数f（x）=$\frac{a（x-1）}{{x}^{2}}$，
∴f′（x）=$\frac{a（2-x）}{{x}^{3}}$，
a＞0时，f′（x）＞0⇒0＜x＜2，f′（x）＜0⇒x＜0，或x＞2，
故函数f（x）的单调增区间为（0，2），单调减区间为（-∞，0）和（2，+∞），
a＜0时，f′（x）＜0⇒0＜x＜2，f′（x）＞0⇒x＜0，或x＞2，
故函数f（x）的单调减区间为（0，2），单调增区间为（-∞，0）和（2，+∞），
（Ⅱ）设切点为（x，y），
由切线斜率k=1=$\frac{a（2-x）}{{x}^{3}}$，⇒x³=-ax+2a，①
由x-y-1=x-$\frac{a（x-1）}{{x}^{2}}$-1=0⇒（x²-a）（x-1）=0⇒x=1，x=±$\sqrt{a}$．
把x=1代入①得a=1，
把x=$\sqrt{a}$代入①得a=1，
把x=-$\sqrt{a}$代入①得a=-1（舍去），
故所求实数a的值为1．
（Ⅲ）∵g（x）=xlnx-x²f（x）=xlnx-a（x-1），
∴g′（x）=lnx+1-a，解lnx+1-a=0得x=e^a-1，
故g（x）在区间（e^a-1，+∞）上递增，在区间（0，e^a-1）上递减，
①当e^a-1≤1时，即0＜a≤1时，g（x）在区间[1，e]上递增，其最小值为g（1）=0；
②当1＜e^a-1＜e时，即1＜a＜2时，g（x）的最小值为g（e^a-1）=a-e^a-1；
③当e^a-1≥e，即a≥2时，g（x）在区间[1，e]上递减，其最小值为g（e）=e+a-ae．

点评 本题主要考查利用导数求闭区间上函数的最值以及利用导数研究函数的单调性，是高考的常考题型．