Question

8．若点A（a，b）（ a≠b）在矩阵M=$|\begin{array}{l}{cosx}&{-sinx}\\{sinx}&{cosx}\end{array}|$对应变换的作用下得到的点为B（-b，a），
（1）求矩阵M的逆矩阵；
（2）求曲线C：x²+y²=1在矩阵N=$|\begin{array}{l}{0}&{\frac{1}{2}}\\{1}&{0}\end{array}|$所对应变换的作用下得到的新的曲线C′的方程．

Answer 1

分析 （1）根据二阶矩阵与平面列向量的乘法，确定矩阵M，再求矩阵的逆矩阵；
（2）设曲线C上任意一点P（x₀，y₀），根据矩阵变换的公式求出对应的点P′（x，y），解出由x、y表示x₀，y₀的式子，将点P的坐标代入曲线C方程，化简即得曲线C'的方程．

解答 解：（1）∵点A（a，b）（ a≠b）在矩阵M=$|\begin{array}{l}{cosx}&{-sinx}\\{sinx}&{cosx}\end{array}|$对应变换的作用下得到的点为B（-b，a），
∴$\left\{\begin{array}{l}{acosx-bsinx=-b}\\{asinx+bcosx=a}\end{array}\right.$，得cosx=0，sinx=1  …（3分）
即M=$[\begin{array}{l}{0}&{-1}\\{1}&{0}\end{array}]$，由M^-1M=$[\begin{array}{l}{1}&{0}\\{0}&{1}\end{array}]$得M^-1=$[\begin{array}{l}{0}&{1}\\{-1}&{0}\end{array}]$．…（4分）
（2）设P（x₀，y₀）是曲线C：x²+y²=1上任意一点，
则点P（x₀，y₀）在矩阵M对应的变换下变为点P′（x，y）
则有$[\begin{array}{l}{x}\\{y}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{0}&{\frac{1}{2}}\\{1}&{0}\end{array}]$$[\begin{array}{l}{{x}_{0}}\\{{y}_{0}}\end{array}]$，即x₀=y，y₀=2x，
又∵点P在曲线C：x²+y²=1上，
∴4x²+y²=1，即曲线C'的方程为椭圆4x²+y²=1．

点评 本题主要考查矩阵乘法、逆矩阵与变换，考查了曲线方程的求法等基本知识，考查运算求解能力，