Question

在锐角△ABC中，∠B与∠C的对边分别为b、c，且A=2B．
（1）求∠B的取值范围；
（2）求

c

b

的取值范围．

Answer 1

考点：正弦定理,余弦定理

专题：计算题,三角函数的图像与性质,解三角形

分析：（1）由锐角三角形的定义，解不等式即可得到B的范围；
（2）运用正弦定理和二倍角公式及两角和的正弦公式，化简整理，再由余弦函数的单调性即可得到范围．

解答： 解：（1）由A=2B，可得，C=π-A-B=π-3B，
锐角△ABC中，0＜A＜

π

2

，0＜B＜

π

2

，0＜C＜

π

2

，
解得，

π

6

＜B＜

π

4

，
则∠B的取值范围是（

π

6

，

π

4

）；
（2）由正弦定理，可得，

c

b

=

sinC

sinB

=

sin3B

sinB

=

sin(2B+B)

sinB

=

sin2BcosB+cos2BsinB

sinB

=2cos²B+cos2B=4cos²B-1，
由于

π

6

＜B＜

π

4

，则

2

2

＜cosB＜

3

2

，
即有1＜4cos²B-1＜2．
则

c

b

的取值范围是（1，2）．

点评：本题考查正弦定理的运用，考查二倍角公式和两角和的正弦公式的运用，考查化简运算能力，属于中档题和易错题．