Question

已知抛物线y²=2px（p＞0）上一点M（1，m）（m＞0）到其焦点的距离为5，双曲线

x2

a

-y²=1的左顶点为A．若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数a等于

 

．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设M点到抛物线准线的距离为d，由已知可得p值，由双曲线的一条渐近线与直线AM平行，可得

4

1+ a

=

1

a

，解得实数a的值．

解答： 解：设M点到抛物线准线的距离为d，
则|MF|=d=1+

p

2

=5⇒p=8，
所以抛物线方程为y²=16x，M的坐标为（1，4）；
又双曲线的左顶点为A(-

a

，0)，
渐近线为y=±

1

a

x，
所以，由题设可得

4

1+ a

=

1

a

，
解得a=

1

9

．
故答案为：

1

9

点评：本题考查的知识点是抛物线的简单性质，双曲线的简单性质，是抛物线与双曲线的综合应用，难度中档．