Question

11．如图，在四棱锥S-ABCD中，SA⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ABC=90°，SA=AB=AD=1，BC=2．
（1）求异面直线BC与SD所成角的大小；
（2）求直线SC与平面SAB所成角的正切值；
（3）求三棱锥D-SBC的体积．

Answer 1

分析 （1）由AD∥BC，知异面直线BC与SD所成角是∠SDA或其补角，由此能求出异面直线BC与SD所成角的大小．
（2）推导出SA⊥BC，AB⊥BC，从而BC⊥面SAB，进而SB是SC在平面SAB上的射影，∠CSB是SC与底面SAB所成角，由此能求出SC与底面SAB所成角的正切值．
（3）三棱锥D-SBC的体积：V_D-SBC=V_A-SBC=V_S-ABC，由此能求出结果．

解答 解：（1）∵AD∥BC，∴异面直线BC与SD所成角是∠SDA或其补角，
∵SA⊥平面ABCD，AD?平面ABCD，
∴SA⊥AD，在Rt△SAD中，∵SA=AD，∴∠SDA=45°，
∴异面直线BC与SD所成角的大小为45^o．
（2）∵SA⊥面ABCD，BC?面ABCD，∴SA⊥BC，
又∵AB⊥BC，SA∩AB=A，
∴BC⊥面SAB，
∴SB是SC在平面SAB上的射影，
∴∠CSB是SC与底面SAB所成角
在Rt△CSB中tan∠CSB=$\frac{BC}{SC}=\frac{2}{{\sqrt{2}}}=\sqrt{2}$，
∴SC与底面SAB所成角的正切值为$\sqrt{2}$．
（3）∵AD∥BC，∴D到平面SBC的距离与A到平面SBC的距离相等，
∵SA⊥平面ABC，
∴三棱锥D-SBC的体积：
V_D-SBC=V_A-SBC=V_S-ABC
=$\frac{1}{3}×{S}_{△ABC}×SA$=$\frac{1}{3}×（\frac{1}{2}×1×2）×1$=$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查异面直线所成角的求法，考查线面角的正弦值的求法，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，考查创新意识、应用意识，是中档题．