题目内容

8．已知f1（x）=ex（sinx+cosx），fn+1（x）=fn′（x），则f2017（x）=（　　）
A．-21007excosxB．-21007ex（cosx-sinx）
C．21008exsinxD．21008ex（sinx+cosx）

分析 求函数的导数，寻找导函数的规律即可得到结论．

解答 解：f2（x）=f1′（x）=ex（sinx+cosx）+ex（cosx-sinx）=2ex•cosx，
f3（x）=f2′（x）=2ex•（cosx-sinx），
f4（x）=f3′（x）=-22ex•sinx，
f5（x）=f4′（x）=-22ex（sinx+cosx），
f6（x）=f5′（x）=-23excosx，
f7（x）=f6′（x）=-23ex（cosx-sinx），
f8（x）=f7′（x）=24exsinx，
f9（x）=f8′（x）=24ex（sinx+cosx）
…
f2017（x）=21008ex（sinx+cosx），
故选：D

点评 本题考查三角函数的导数、周期性、及观察归纳思想的运用，属于中档题．熟练掌握三角函数的求导法则，利用其中的函数周期性则解决本题的关键．

练习册系列答案
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A．$2+\frac{{4\sqrt{2}π}}{3}$B．$4+\frac{{8\sqrt{2}π}}{3}$C．$2+\frac{{8\sqrt{2}π}}{3}$D．$4+\frac{{4\sqrt{2}π}}{3}$
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