Question

14．已知函数f（x）=e^x，g（x）=$\frac{a}{2}x+b$（a，b∈R），
（1）若h（x）=f（x）g（x），b=1-$\frac{a}{2}$．求h（x）在[0，1]上的最大值φ（a）的表达式；
（2）若a=4时，方程f（x）=g（x）在[0，2]上恰有两个相异实根，求实根b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）把b=1-$\frac{a}{2}$代入函数解析式，求出导函数，分a=0，a＞0和a＜0三类求得h（x）在[0，1]上的最大值φ（a）；
（2）F（x）=f（x）-g（x）=e^x-2x-b，求得F′（x）=e^x-2，由F（x）在（0，ln2）上单调递减，在（ln2，+∞）上单调递增，把F（x）=e^x-2x-b在[0，2]上恰有两个相异实根转化为$\left\{\begin{array}{l}{F（0）=1-b≥0}\\{F（ln2）=2-2ln2-b＜0}\\{F（2）={e}^{2}-4≥0}\end{array}\right.$，求解不等式组可得实数b的取值范围．

解答 解：（1）b=1-$\frac{a}{2}$时，h（x）=${e}^{x}（\frac{a}{2}x+1-\frac{a}{2}）$，∴h′（x）=${e}^{x}（\frac{a}{2}x+1）$．
①当a=0时，h′（x）=e^x＞0，h（x）在[0，1]上为增函数，此时φ（a）=e；
②当a＞0时，h′（x）=${e}^{x}•\frac{a}{2}（x+\frac{2}{a}）$，h（x）在（-$\frac{2}{a}，+∞$）上为增函数，
故h（x）在[0，1]上为增函数，此时φ（a）=h（1）=e；
③当a＜0时，h′（x）=${e}^{x}•\frac{a}{2}（x+\frac{2}{a}）$，h（x）在（-∞，$-\frac{2}{a}$）上为增函数，在（-$\frac{2}{a}$，+∞）上为减函数，
若0$＜-\frac{2}{a}＜1$，即a＜-2时，故h（x）在[0，$-\frac{2}{a}$]上为增函数，在[$-\frac{2}{a}，1$]上为减函数，
此时φ（a）=h（-$\frac{2}{a}$）=${e}^{-\frac{2}{a}}（-1+b）=-\frac{a}{2}•{e}^{-\frac{2}{a}}$．
若-$\frac{2}{a}≥1$，即-2≤a＜0时，h（x）在[0，1]上为增函数，则此时φ（a）=h（1）=e，
综上所述：φ（a）=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{a}{2}•{e}^{-\frac{2}{a}}，a＜-2}\\{e，a≥-2}\end{array}\right.$；
（2）F（x）=f（x）-g（x）=e^x-2x-b，F′（x）=e^x-2，
∴F（x）在（0，ln2）上单调递减，在（ln2，+∞）上单调递增，
∴F（x）=e^x-2x-b在[0，2]上恰有两个相异实根，
?$\left\{\begin{array}{l}{F（0）=1-b≥0}\\{F（ln2）=2-2ln2-b＜0}\\{F（2）={e}^{2}-4≥0}\end{array}\right.$，解得2-2ln2＜b≤1．
∴实数b的取值范围是b∈（2-2ln2，1]．

点评 本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求函数在闭区间上的最值，体现了数学转化思想方法与分类讨论的数学思想方法，属难题．