Question

6．函数f（x）在x=1处的导数为1，则$\lim_{x→∞}\frac{f（1-x）-f（1+x）}{3x}$的值为（　　）

• A． 3
• B． -$\frac{3}{2}$
• C． $\frac{1}{3}$
• D． -$\frac{2}{3}$

Answer 1

分析 根据题意，先将$\lim_{x→∞}\frac{f（1-x）-f（1+x）}{3x}$进行化简变形，结合导数的定义有$\underset{lim}{n→∞}\frac{f（1+x）-f（1-x）}{（1+x）-（1-x）}$=1，代入计算可得答案．

解答 解：根据题意，$\lim_{x→∞}\frac{f（1-x）-f（1+x）}{3x}$=-$\underset{lim}{n→∞}\frac{f（1+x）-f（1-x）}{3x}$=-$\frac{2}{3}$$\underset{lim}{n→∞}\frac{f（1+x）-f（1-x）}{（1+x）-（1-x）}$，
又由f（x）在x=1处的导数为1，则有$\underset{lim}{n→∞}\frac{f（1+x）-f（1-x）}{（1+x）-（1-x）}$=1，
则$\lim_{x→∞}\frac{f（1-x）-f（1+x）}{3x}$=-$\frac{2}{3}$，
故选：D．

点评 本题考查极限的运算，涉及导数的定义，关键是掌握导数的定义．