Question

下列命题正确的个数为（　　）
①已知-1≤x+y≤1，1≤x-y≤3，则3x-y的范围是[1，7]；
②若不等式2x-1＞m（x²-1）对满足|m|≤2的所有m都成立，则x的范围是（

7 -1

2

，

3 +1

2

）；
③如果正数a，b满足ab=a+b+3，则ab的取值范围是[8，+∞）；
④a=log

1

3

2，b=log

1

2

3，c=(

1

3

)0.5大小关系是a＞b＞c．

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：不等式的解法及应用,简易逻辑

分析：①把3x-y化为x+y和x-y的代数式，由已知的范围得答案；
②利用更换主元的办法，把不等式看作关于m的不等式，由不等式在[-2，2]上恒成立列式得答案；
③利用基本不等式的性质，换元后求解一元二次不等式得ab的取值范围；
④由对数函数的性质，通过比较三个数与0和-1的大小判断．

解答： 解：对于①，∵-1≤x+y≤1，1≤x-y≤3，
∴2≤2（x-y）≤6，
∴1≤3x-y=（x+y）+2（x-y）≤7，
∴命题①正确；
对于②，将不等式2x-1＞m（x²-1）化为含参数x的m的一次不等式（x²-1）m-（2x-1）＜0，
再令f（m）=（x²-1）m-（2x-1），
只要

f(-2)=-2(x2-1)-(2x-1)＜0 f(2)=2(x2-1)-(2x-1)＜0

，解得：

7 -1

2

＜x＜

3 +1

2

．
∴x的范围是（

7 -1

2

，

3 +1

2

）．
∴命题②正确；
对于③，∵a+b≥2

ab

，
∴ab=a+b+3≥3+2

ab

，
令

ab

=t，则t²≥3+2t，即t²-2t-3≥0．
解得：t≤-1或t≥3．
∵t=

ab

，
∴

ab

≥3．
∴ab≥9．命题③不正确；
对于④，∵-1＜a=log

1

3

2=-log32＜0，
b=log

1

2

3=-log23＜-1，c=(

1

3

)0.5＞0．
∴c＞a＞b．
∴命题④不正确．
∴正确的命题是①②．
故选：B．

点评：本题考查了命题的真假判断与应用，考查了不等式的解法，训练了基本不等式的应用，体现了数学转化思想方法，是中档题．