Question

已知直线l：x=my+1过椭圆C：，

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的右焦点F，抛物线x2=4

3

y的焦点为椭圆C的上顶点，且直线l交椭圆C于A，B两点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线l交y轴于点M，且

MA

=λ1

AF

，

MB

=λ2

BF

，当m变化时，λ₁+λ₂的值是否为定值？若是，求出这个定值，若不是，说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：向量与圆锥曲线

分析：（1）求出直线经过的定点坐标及抛物线的焦点坐标，则b，c的值可求，结合a²=b²+c²求得a²的值，则椭圆方程可求；
（2）设出A，B坐标，联立直线和椭圆方程，化为关于y的一元二次方程后利用根与系数的关系得到A，B的纵坐标的和与积，结合

MA

=λ1

AF

，

MB

=λ2

BF

把λ₁，λ₂用含y₁，y₂ 的代数式表示，整理后代入根与系数关系求得λ₁+λ₂的值是定值．

解答： 解：（1）∵直线l：x=my+1过顶点（1，0），
∴c=1，
又抛物线x2=4

3

y的焦点坐标为（0，

3

），
∴b=

3

．则a²=b²+c²=4．
∴椭圆C的方程为：

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）易知m≠0，M(0，-

1

m

)，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

x=my+1 x2 4 + y2 3 =1

⇒(3m2+4)y2+6my-9=0，
∴△=（6m）²+36（3m²+4）=144（m²+1）＞0，
y1+y2=-

6m

3m2+4

，y1•y2=-

9

3m2+4

，
又由

MA

=λ1

AF

，

MB

=λ2

BF

得：λ1=-1-

1

my1

，λ2=-1-

1

my2

，
∴λ1+λ2=-2-

1

m

•

y1+y2

y1•y2

=-2-

1

m

•

- 6m 3m2+4

- 9 3m2+4

=-2-

2

3

=-

8

3

．

点评：本题主要考查椭圆方程的求法，考查了直线与椭圆的位置关系的应用，训练了向量的坐标表示法在解题中的应用，属难题．