Question

20．如图，在四棱锥A-BECD中，已知底面BECD是平行四边形，且CA=CB=CD=BD=2，AB=AD=$\sqrt{2}$．
（Ⅰ）求证：平面ABD⊥平面BECD；
（Ⅱ）求点E到平面ACD的距离．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取AD中点O，连结OC，OA，证明AO⊥平面BECD，即可证明平面ABD⊥平面BECD；
（Ⅱ）利用等体积转化，即可求点E到平面ACD的距离．

解答 （Ⅰ）证明：取AD中点O，连结OC，OA．
∵BO=DO，AB=AD，
∴AO⊥BD，∵BO=DO，BC=CD，∴CO⊥BD，

在△AOC中，由已知可得AO=1，CO=$\sqrt{3}$，
而AC=2，∴AO²+CO²=AC²．
∴∠AOC=90°，即AO⊥OC．
∵BD∩OC=O，∴AO⊥平面BECD．
又 OA?平面ABD，
所以平面ABD⊥平面BCD；
（Ⅱ）解：设点E到平面ACD的距离为h．∵V_E-ACD=V_A-CDE，∴$\frac{1}{3}$h•S_△ACD=$\frac{1}{3}$•AO•S_△CDE．
在△ACD中，CA=CD=2，AD=$\sqrt{2}$，∴S_△ACD=$\frac{\sqrt{7}}{2}$．
而AO=1，${S_{△CDE}}={S_{△BCD}}=\frac{{\sqrt{3}}}{4}×{2^2}=\sqrt{3}$，∴h=$\frac{AO•S△CDE}{S△ACD}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{{\;\frac{{\sqrt{7}}}{2}\;}}=\frac{{2\sqrt{21}}}{7}$．
∴点E到平面ACD的距离为$\frac{{2\sqrt{21}}}{7}$．

点评 本题考查线面垂直，平面与平面垂直的证明，考查点E到平面ACD的距离，正确计算体积是关键．