Question

15．已知函数f（x）=sin（π-ωx）cosωx+cos²ωx（ω＞0）的最小正周期为π．
（1）求ω的值；
（2）将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标缩短到原来的$\frac{1}{2}$，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，求函数g（x）在区间[0，$\frac{π}{16}$]上的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再根据正弦函数的周期性求得ω的值．
（2）利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再利用正弦函数的周期性、定义域和值域求得函数g（x）在区间[0，$\frac{π}{16}$]上的最小值．

解答 解：（1）函数f（x）=sin（π-ωx）cosωx+cos²ωx=sinωx•cosωx+$\frac{1+cos2ωx}{2}$
=$\frac{1}{2}$sin2ωx+$\frac{1}{2}$cos2ωx+$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2ωx+$\frac{π}{4}$）+$\frac{1}{2}$（ω＞0）的最小正周期为$\frac{2π}{2ω}$=π，∴ω=1．
（2）将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标缩短到原来的$\frac{1}{2}$，纵坐标不变，
得到函数y=g（x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（4x+$\frac{π}{4}$）+$\frac{1}{2}$的图象．
x∈[0，$\frac{π}{16}$]，4x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]，sin（4x+$\frac{π}{4}$）∈[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]，
故当4x+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{4}$时，f（x）取得最小值为1．

点评 本题主要考查三角恒等变换，y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的周期性、定义域和值域，属于基础题．