Question

5．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bsinA=2csinB，b=2$\sqrt{6}$，cosA=$\frac{\sqrt{6}}{4}$．
（Ⅰ）求c；
（Ⅱ）求cos（2A+$\frac{π}{3}$）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知及正弦定理可得：a=2c，由余弦定理可得：c²+2c-8=0，即可解得c的值．
（Ⅱ）由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinA，利用二倍角公式可求sin2A，cos2A的值，即可根据两角和的余弦函数公式计算得解．

解答 解：（Ⅰ）∵bsinA=2csinB，
∴由正弦定理可得：ba=2cb，可得：a=2c，
又∵b=2$\sqrt{6}$，cosA=$\frac{\sqrt{6}}{4}$，
∴由余弦定理cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$，可得：$\frac{\sqrt{6}}{4}$=$\frac{24+{c}^{2}-4{c}^{2}}{2×2\sqrt{6}×c}$，
∴整理可得：c²+2c-8=0，解得：c=2或-4（舍去）．
（Ⅱ）∵cosA=$\frac{\sqrt{6}}{4}$，
∴sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\frac{\sqrt{10}}{4}$，sin2A=2sinAcosA=$\frac{\sqrt{15}}{4}$，cos2A=2cos²A-1=-$\frac{1}{4}$，
∴cos（2A+$\frac{π}{3}$）=cos2Acos$\frac{π}{3}$-sin2Asin$\frac{π}{3}$=（-$\frac{1}{4}$）×$\frac{1}{2}$-$\frac{\sqrt{15}}{4}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=-$\frac{1+3\sqrt{5}}{8}$．

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函数基本关系式，二倍角公式，两角和的余弦函数公式的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．