Question

设曲线y=xⁿ⁺¹（n∈N^*）在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为x_n，令a_n=log₂₀₁₅x_n，则a₁+a₂+…+a₂₀₁₄的值为

 

．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：计算题,导数的概念及应用

分析：由题意可得切点P（1，1），f′（x）=（n+1）xⁿ，根据导数的几何意义可求切线的斜率k，进而可求切线方程，切线方程，在方程中，令y=0可得，x_n=

n

n+1

，利用累乘可求x₁x₂…x₂₀₁₄=

1

2015

，代入可求出答案．

解答： 解：由题意可得切点P（1，1），
对函数f（x）=xⁿ⁺¹求导可得，f′（x）=（n+1）xⁿ
∴y=f（x）在点P处的切线斜率K=f′（1）=n+1，切线方程为y-1=（n+1）（x-1）
令y=0可得，x_n=

n

n+1

∴x₁x₂…x₂₀₁₄=

1

2

•

2

3

•

3

4

••

2014

2015

=

1

2015

，
∴log₂₀₁₅x₁+log₂₀₁₅x₂+…+log₂₀₁₅x₂₀₁₄=log₂₀₁₅（x₁x₂…x₂₀₁₄）
=log₂₀₁₅ 2015^-1=-1
故答案为：-1

点评：本题主要考查了导数的几何意义的应用，累乘及对数的运算性质的综合应用，还考查了基本运算的能力．