题目内容
如图，已知椭圆E的中心为O，长轴的两个端点为A，B，右焦点为F，且| AF |
| FB |
| 16 |
| 3 |
（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；
（Ⅱ）若N为准线l上一点（在x轴上方），AN与椭圆交于点M，且
| AN |
| MF |
| AM |
| MN |
考点：直线与圆锥曲线的综合问题
专题：
分析：（Ⅰ）利用
=7
，求出3a=4c，利用椭圆E的右准线l的方程为x=
，求出
=
，联立求出a，c，可得b，即可求椭圆E的标准方程；
（Ⅱ）由
•
=0，可得（x+4）（3-x）-y2=0，即y2=-x2-x+12，利用M满足
+
=1，求出M的横坐标，根据
=λ
，可得
+4=λ（
-
），即可求出λ．
| AF |
| FB |
| 16 |
| 3 |
| a2 |
| c |
| 16 |
| 3 |
（Ⅱ）由
| AN |
| MF |
| x2 |
| 16 |
| y2 |
| 7 |
| AM |
| MN |
| 20 |
| 9 |
| 16 |
| 3 |
| 20 |
| 9 |
解答：
解：（Ⅰ）设椭圆
+
=1（a＞b＞0），则
∵
=7
，
∴a+c=7（a-c），
∴3a=4c①，
∵椭圆E的右准线l的方程为x=
，
∴
=
②
解①②可得a=4，c=3，
∴b2=a2-c2=7，
∴椭圆E的标准方程为
+
=1；
（Ⅱ）设M（x，y），由
•
=0，可得（x+4）（3-x）-y2=0，
∴y2=-x2-x+12，
∴M满足
+
=1，
消去y，可得9x2+16x-80=0，
解得x=
或x=-4（舍去）
∵
=λ
，
∴
+4=λ（
-
），
∴λ=2．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
∵
| AF |
| FB |
∴a+c=7（a-c），
∴3a=4c①，
∵椭圆E的右准线l的方程为x=
| 16 |
| 3 |
∴
| a2 |
| c |
| 16 |
| 3 |
解①②可得a=4，c=3，
∴b2=a2-c2=7，
∴椭圆E的标准方程为
| x2 |
| 16 |
| y2 |
| 7 |
（Ⅱ）设M（x，y），由
| AN |
| MF |
∴y2=-x2-x+12，
∴M满足
| x2 |
| 16 |
| y2 |
| 7 |
消去y，可得9x2+16x-80=0，
解得x=
| 20 |
| 9 |
∵
| AM |
| MN |
∴
| 20 |
| 9 |
| 16 |
| 3 |
| 20 |
| 9 |
∴λ=2．
点评：本题考查椭圆的方程与性质，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．
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