Question

5．已知直线l过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F（1，0），交抛物线于M，N两点．
（Ⅰ）写出抛物线的标准方程及准线方程；
（Ⅱ）O为坐标原点，直线MO、NO分别交准线于点P，Q，求|PQ|的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用焦点坐标，求出p=2，即可得到抛物线的标准方程，以及准线方程．
（Ⅱ）设M、N的坐标分别为$（\frac{y_1^2}{4}，{y_1}）$，$（\frac{y_2^2}{4}，{y_2}）$，由M、O、P三点共线可求出P点的坐标为$（-1，-\frac{4}{y_1}）$，由M、O、Q三点共线可求出Q点的坐标为$（-1，-\frac{4}{y_2}）$，设直线MN的方程为x=my+1，联立直线与抛物线方程，利用弦长公式，求解最值即可．

解答 解：（Ⅰ）∵焦点F（1，0），∴$\frac{p}{2}=1$，p=2，∴抛物线的标准方程为y²=4x，准线方程为x=-1．
（Ⅱ）设M、N的坐标分别为$（\frac{y_1^2}{4}，{y_1}）$，$（\frac{y_2^2}{4}，{y_2}）$，
由M、O、P三点共线可求出P点的坐标为$（-1，-\frac{4}{y_1}）$，
由M、O、Q三点共线可求出Q点的坐标为$（-1，-\frac{4}{y_2}）$，
设直线MN的方程为x=my+1，由$\left\{\begin{array}{l}x=my+1\\{y^2}=4x\end{array}\right.$得y²-4my-4=0，
∴y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4，
则$|PQ|=|\frac{4}{y_2}-\frac{4}{y_1}|=\frac{{4|{y_1}-{y_2}|}}{{|{y_1}{y_2}|}}=\sqrt{{{（{y_1}+{y_2}）}^2}-4{y_1}{y_2}}=\sqrt{16{m^2}+16}=4\sqrt{{m^2}+1}$，
当m=0时，|PQ|_min=4．

点评 本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，抛物线方程的求法，弦长公式的应用，考查计算能力．