Question

11．设点P是边长为2的正三角形ABC的三边上的动点，则$\overrightarrow{PA}$•（$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$）的取值范围为[-$\frac{9}{8}$，2]．

Answer 1

分析 以AB中点为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，可得A（-1，0），B（1，0），C（0，$\sqrt{3}$），讨论P在AB，BC，CA上，分别设P的坐标，可得向量PA，PB，PC的坐标，由向量的坐标表示，化为二次函数在闭区间上的最值问题，即可得到所求取值范围．

解答 解：以AB中点为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，
可得A（-1，0），B（1，0），C（0，$\sqrt{3}$），
当P在线段AB上，设P（t，0），（-1≤t≤1），
$\overrightarrow{PA}$=（-1-t，0），$\overrightarrow{PB}$=（1-t，0），$\overrightarrow{PC}$=（-t，$\sqrt{3}$），
即有$\overrightarrow{PA}$•（$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$）=（-1-t，0）•（1-2t，$\sqrt{3}$）
=（-1-t）（1-2t）+0×$\sqrt{3}$=2t²+t-1=2（t-$\frac{1}{4}$）²-$\frac{9}{8}$，
由-1≤t≤1可得t=$\frac{1}{4}$取得最小值-$\frac{9}{8}$，t=-1时，取得最大值0；
当P在线段CB上，设P（m，$\sqrt{3}$（1-m）），（0≤m≤1），
$\overrightarrow{PA}$=（-1-m，$\sqrt{3}$（m-1）），$\overrightarrow{PB}$=（1-m，$\sqrt{3}$（m-1）），$\overrightarrow{PC}$=（-m，$\sqrt{3}$m），
即有$\overrightarrow{PA}$•（$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$）=（-1-m，$\sqrt{3}$（m-1））•（1-2m，$\sqrt{3}$（2m-1））
=（-1-m）（1-2m）+$\sqrt{3}$（m-1）×$\sqrt{3}$（2m-1）=2（2m-1）²，
由0≤m≤1可得m=$\frac{1}{2}$取得最小值0，m=0或1时，取得最大值2；
当P在线段AC上，设P（n，$\sqrt{3}$（1+n）），（-1≤n≤0），
$\overrightarrow{PA}$=（-1-n，-$\sqrt{3}$（1+n）），$\overrightarrow{PB}$=（1-n，-$\sqrt{3}$（1+n）），$\overrightarrow{PC}$=（-n，-$\sqrt{3}$n），
即有$\overrightarrow{PA}$•（$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$）=（-1-n，-$\sqrt{3}$（1+n））•（1-2n，-$\sqrt{3}$（1+2n））
=（-1-n）（1-2n）+$\sqrt{3}$（1+n）×$\sqrt{3}$（1+2n）=8n²+10n+2=8（n+$\frac{5}{8}$）²-$\frac{9}{8}$，
由-1≤n≤0可得n=-$\frac{5}{8}$取得最小值-$\frac{9}{8}$，n=0时，取得最大值2；
综上可得$\overrightarrow{PA}$•（$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$）的取值范围是[-$\frac{9}{8}$，2]．
故答案为：[-$\frac{9}{8}$，2]．

点评 本题考查向量数量积的坐标表示，考查坐标法的运用，同时考查分类讨论和转化思想，转化为二次函数在闭区间上的最值问题是解题的关键，属于中档题．