Question

13．已知抛物线y²=2x上一点A到焦点F的距离与其到对称轴的距离之比为9：4，且|AF|＞2，点A到原点的距离为（　　）

• A． $\sqrt{41}$
• B． 4$\sqrt{5}$
• C． 4
• D． 8

Answer 1

分析 设点A的坐标为（x₁，y₁），求出抛物线的准线方程，结合抛物线的定义建立方程关系进行求解，求得A点坐标，利用两点之间的距离公式即可求得A到原点的距离．

解答 解：假设A在第一象限，A（x₁，y₁），（x₁＞0，y₁＞0），y₁²=2x₁，
抛物线y²=2x的准线方程为x=-$\frac{1}{2}$，
根据抛物线的定义，点A到焦点的距离等于点A到准线的距离，由|AF|=a+$\frac{1}{2}$＞2，则a＞$\frac{3}{2}$，
则A到对称轴的距离d=y₁，
∵点A到焦点F的距离与其到对称轴的距离之比为9：4，
∴$\frac{{x}_{1}+\frac{1}{2}}{{y}_{1}}$=$\frac{9}{4}$，
∴解得：x₁=$\frac{73+9\sqrt{65}}{16}$，y₁=$\frac{9+\sqrt{65}}{4}$，
则点A到原点的距离丨OA丨=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{73+9\sqrt{65}}{16}）^{2}+（\frac{9+\sqrt{65}}{4}）^{2}}$=4$\sqrt{5}$，
A到原点的距离4$\sqrt{5}$，
故选：B．

点评 本题主要考查抛物线性质和定义的应用，利用抛物线的定义建立方程关系是解决本题的关键，考查计算能力，属于中档题．