Question

3．若三棱锥的三条侧棱两两垂直，侧棱长分别为1，$\sqrt{3}$，2，且它的四个顶点在同一球面上，则此球的体积为（　　）

• A． $\frac{{2\sqrt{2}}}{3}π$
• B． $3\sqrt{3}π$
• C． $\frac{{8\sqrt{2}}}{3}π$
• D． 8π

Answer 1

分析 根据三棱锥三条侧棱两两垂直，三棱锥的四个顶点在同一个球面上，构造长方体，根据长方体的体对角线和球直径之间的关系即可求出球的半径，即可求出球的体积．

解答 解：三棱锥A-BCD中，以A为顶点的三条侧棱两两垂直，且其长分别为1，$\sqrt{3}$，2．
∵三棱锥的四个顶点同在一个球面上，三棱锥是长方体的一个角，则构造长方体，
∴三棱锥的外接球与长方体的外接球相同，
即长方体的体对角线就是球的直径，
∴长方体的体对角线长$\sqrt{1+3+4}$=2$\sqrt{2}$．
即球的直径为2r=2$\sqrt{2}$，解得半径为r=$\sqrt{2}$，
∴外接球的体积为：$\frac{4}{3}$π×（$\sqrt{2}$）³=$\frac{8\sqrt{2}}{3}$π
故选：C．

点评 本题主要考查三棱锥的外接球的体积，构造长方体是解决本题的关键，要求熟练掌握球的体积公式．