Question

某影视城为提高旅游增加值，现需要对影视城内景点进行改造升级．经过市场调查，改造后旅游收入y（万元）与投入x（万元）之间满足关系：y=

51

50

x-ax²，x∈[t，+∞），其中t为大于

1

2

的常数．当x=10万元时，y=9.2万元，又每投入x万元需缴纳（3+ln

x

10

）万元的增值税（旅游增加值=旅游收入-增值税）．
（I）若旅游增加值为了f（x），求f（x）的解析式；
（Ⅱ）求旅游增加值f（x）的最大值M．

Answer 1

考点：函数模型的选择与应用

专题：函数的性质及应用

分析：（I）当x=10时，y=9.2，代入函数关系式，求出a的值，即可求得f（x）的解析式；
（Ⅱ）求导函数，对t分类讨论，利用函数的单调性，即可求得函数的最值．

解答： 解：（I）当x=10时，y=9.2，即

51

50

×10-100a=9.2，∴a=

1

100

∴f（x）=

51

50

x-

x2

100

-ln

x

10

-3，x∈[t，+∞），
（Ⅱ）f′(x)=-

(x-1)(x-50)

50x

①t∈（50，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）在（t，+∞）上是减函数
∴f（x）在x=t时取得最大值，M=f（t）=

51

50

t-

t2

100

-ln

t

10

-3
②t∈[1，50]时，x∈（t，50），f′（x）＞0，f（x）单调递增，x∈（50，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减
∴f（x）在x=50时取得最大值，M=f（50）=23-ln5‘
③t∈(

1

2

，1)时，x∈（t，1），f′（x）＜0，f（x）单调递减；x∈（1，50），f′（x）＞0，f（x）单调递增；x∈（50，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减
∵f（5）＞f（

1

2

）＞f（t），M=f（50）=23-ln5
∴M=

23-ln5， 1 2 ≤t≤50 51 50 t- t2 100 -ln t 10 -3．t＞50

点评：本题考查函数解析式的确定，考查函数的最值，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．