Question

现代城市大多是棋盘式布局（如北京道路几乎都是东西和南北走向）．在这样的城市中，我们说的两点间的距离往往不是指两点间的直线距离（位移），而是实际路程（如图1）．在直角坐标平面内，我们定义A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点间的“直角距离”为：D_（AB）=|x₁-x₂|+|y₁-y₂|．

（1）已知A（-3，-3），B（3，2），求A、B两点的距离D_（AB）．
（2）求到定点M（1，2）的“直角距离”为2的点的轨迹方程．并写出所有满足条件的“格点”的坐标（格点是指横、纵坐标均为整数的点）．
（3）求到两定点F₁、F₂的“直角距离”和为定值2a（a＞0）的动点轨迹方程，并在直角坐标系如图2内作出该动点的轨迹．
①F₁（-1，0），F₂（1，0），a=2；
②F₁（-1，-1），F₂（1，1），a=2；
③F₁（-1，-1），F₂（1，1），a=4．

Answer 1

考点：轨迹方程

专题：综合题,新定义

分析：（1）直接由直角距离的概念求解；
（2）由定义写出轨迹方程，然后找满足条件的整数数对得到格点数；
（3）由定义写出轨迹方程，分类讨论去绝对值后即可作出图象．

解答： 解：（1）∵A（-3，-3），B（3，2），
∴D_（AB）=|x₁-x₂|+|y₁-y₂|=|-3-3|+|-3-2|=11；
（2）由题意可知轨迹方程为：|x-1|+|y-2|=2．
满足条件的格点为：（1，4），（1，0），（2，3），（2，1），（3，2），
（0，1），（0，3），（-1，2）；
（3）①F₁（-1，0），F₂（1，0），a=2．
轨迹方程为：|x+1|+|x-1|+2|y|=4．
当x≤-1，y≥0时，x-y+2=0．
当x≤-1，y＜0时，x+y+2=0．
当-1＜x＜1，y≥0时，y=1．
当-1＜x＜1，y＜0时，y=-1．
当x≥1，y≥0时，x+y-2=0．
当x≥1，y＜0时，x-y-2=0．

②F₁（-1，-1），F₂（1，1），a=2．
轨迹方程为：|x+1|+|y+1|+|x-1|+|y-1|=4．
当x≤-1，y≥1时，（x，y）=（-1，1）．
当x≤-1，-1＜y＜1时，x=-1．
当x≤-1，y≤-1时，（x，y）=（-1，-1）．
当-1＜x＜1，y≥1时，y=1．
由对称性可得其它几种情况．

③F₁（-1，-1），F₂（1，1），a=4．
迹方程为：|x+1|+|y+1|+|x-1|+|y-1|=8．
当x≤-1，y≥1时，x-y+4=0．
当x≤-1，-1＜y＜1时，x=-3．
当-1＜x＜1，y≥1时，y=3．
由对称性可得其它几种情况．

点评：本题是新定义题，考查了分类讨论的数学思想方法，关键是对题意的理解，是中档题．