Question

在平面直角坐标系中，已知射线OA：

3

x-y=0，射线OB：

3

x+3y=0（x≥0），过点P（1，0）作直线分别交射线OA、OB于A、B点．
（1）当AB的中点为P时，求直线AB的方程；
（2）当线段AB的中点在直线y=

3

3

x上时，求直线AB的方程．

Answer 1

考点：待定系数法求直线方程

专题：直线与圆

分析：（1）设A(x1，

3

x1)，B(x2，-

3

3

x2)．由于线段AB的中点为P（1，0）时，利用中点坐标公式可得

x1+x2

2

=1，

3 x1- 3 3 x2

2

=0，解出再利用点斜式即可得出．
（2））设A(x1，

3

x1)，B(x2，-

3

3

x2)．由于线段AB的中点为M(

x1+x2

2

，

3 x1- 3 3 x2

2

)在直线y=

3

3

x上，代入可得x₁=x₂．又直线AB过点P（1，0），即可得出直线方程．

解答： 解：（1）设A(x1，

3

x1)，B(x2，-

3

3

x2)．
∵线段AB的中点为P（1，0）时，∴

x1+x2

2

=1，

3 x1- 3 3 x2

2

=0，
解得

x1= 1 2 x2= 3 2

．
∴A(

1

2

，

3 3

2

)．
∴直线AB的方程为y-0=

3 3 2 -0

1 2 -1

(x-1)，化为3

3

x+y-3

3

=0．
（2）设A(x1，

3

x1)，B(x2，-

3

3

x2)．
线段AB的中点为M(

x1+x2

2

，

3 x1- 3 3 x2

2

)在直线y=

3

3

x上，
∴

3 x1- 3 3 x2

2

=

3

3

×

x1+x2

2

，化为x₁=x₂．
又直线AB过点P（1，0），
∴x₁=x₂=1．
∴直线AB的方程为x=1．

点评：本题考查了直线的方程、中点坐标公式、待定系数法求直线的方程，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．