Question

已知椭圆的两个焦点F₁（-2

2

，0），F₂（2

2

，0），过点F₁的直线l与椭圆交于M、N两点，若△NMF₂的周长为12，求S_△MNF2的最大值．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由题意知c=2

2

，4a=12，由此能得到椭圆的方程．设直线l的倾斜角为θ，当θ≠

π

2

时，求出△MNF₂的面积，当θ=

π

2

时，求出△MNF₂的面积，比较得出△MNF₂面积的最大值．

解答： 解：由题意知c=2

2

，4a=12，∴a=3，b=1
∴椭圆的方程为

x2

9

+y²=1，
如图示：

设直线l的倾斜角为θ，当θ≠

π

2

时，不妨设θ∈（0，

π

2

）；
∴l的方程是y=tanθ（x+2

2

），
∴

y=tanθ(x+2 2 ) x2 9 +y2=1

，
消去x得：(

1+9tan2θ

tan2θ

)y²-

4 2

tanθ

y-1=0，
∴y₁+y₂=

4 2 tanθ

1+9tan2θ

，y₁ y₂=-

tan2θ

1+9tan2θ

，
∴|y₁-y₂|
=

(y1+y2)2-4y1y2

=

36tan2θ(1+tan2θ) (1+9tan2θ)2

=

6tanθ• 1 cosθ

1+9tan2θ

=

6

1 sinθ +8sinθ

≤

6

2 1 sinθ •8sinθ

=

3 2

4

，
∴S_△MNF2=

1

2

•2c•|y₁-y₂|=3，
当θ=

π

2

时，|MN|=

2

3

，S_△MNF2=

1

2

•2c•|y₁-y₂|=

4 2

3

，
综上，△MNF₂的最大值是3．

点评：本题考查了椭圆的定义，计算三角形面积的应用问题，基本不等式的运用问题等综上，是中档题．