Question

已知点 E（-2，0），F（2，0），曲线C上的动点M满足

ME

•

MF

=-3，定点A（2，1），由曲线C外一点P（a，b）向曲线C引切线PQ，切点为Q，且 满足|PQ|=|PA|．
（1）求圆C的标准方程；
（2）求线段|PQ|长的最小值．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用,圆的标准方程

专题：综合题,直线与圆

分析：（1）设M（x，y），利用曲线C上的动点M满足

ME

•

MF

=-3，化简，即可求圆C的标准方程；
（2）先确定b=-2a+3，再求线段|PQ|长的最小值．

解答： 解：（1）设M（x，y），则

EM

=(x+2，y)，

FM

=(x-2，y)，
∴

EM

•

FM

=(x+2，y)•(x-2，y)=x2-4+y2=-3…（5分）
即M点轨迹（曲线C）方程为x²+y²=1，即曲线C是⊙O．
（2）连OP，∵Q为切点，PQ⊥OQ，由勾股定理有：|PQ|²=|OP|²-|OQ|²．
又由已知|PQ|=|PA|，故|PQ|²=|PA|²．
即：（a²+b²）-1²=（a-2）²+（b-1）²，
化简得实数a，b间满足的等量关系为：2a+b-3=0，即b=-2a+3．
∴|PQ|=

a2+b2-1

=

a2+(-2a+3)2-1

=

5a2-12a+8

=

5(a- 6 5 )2+ 4 5

，
故当a=

6

5

时，|PQ|min=

2

5

5

．
即线段PQ长的最小值为

2

5

5

．…（14分）

点评：本题考查直线和圆的方程的应用，考查学生的计算能力，属于中档题．