Question

7．为了弘扬民族文化，某校举行了“我爱国学，传诵经典”考试，并从中随机抽取了100名考生的成绩（得分均为整数，满分100分）进行统计制表，其中成绩不低于80分的考生被评为优秀生，请根据频率分布表中所提供的数据，用频率估计概率，回答下列问题．

分组	频数	频率
[50，60）	5	0.05
[60，70）	a	0.20
[70，80）	35	b
[80，90）	25	0.25
[90，100）	15	0.15
合计	100	1.00

（ I）求a，b的值及随机抽取一考生恰为优秀生的概率；
（Ⅱ）按频率分布表中的成绩分组，采用分层抽样抽取20人参加学校的“我爱国学”宣传活动，求其中优秀生的人数；
（Ⅲ）在第（Ⅱ）问抽取的优秀生中指派2名学生担任负责人，求至少一人的成绩在[90，100]的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由频率分布表得$\frac{5}{0.05}=\frac{a}{0.20}=\frac{35}{b}$，由此能求出a，b的值及随机抽取一考生恰为优秀生的概率．
（Ⅱ）按成绩分层抽样抽取20人时，由随机抽取一考生恰为优秀生的概率能求出优秀生应抽取的人数．
（Ⅲ）8人中，成绩在[80，90）的有5人，成绩在[90，100]的有3人，从8个人中选2个人，结果共有n=${C}_{8}^{2}$=28种选法，其中至少有一人成绩在[90，100]的情况有两种：可能有1人成绩在[90，100]，也可能有2人成绩在[90，100]，由此能示出至少一人的成绩在[90，100]的概率．

解答 解：（Ⅰ）由频率分布表得：
$\frac{5}{0.05}=\frac{a}{0.20}=\frac{35}{b}$，
解得a=20，b=0.35，
由频率分布表可得随机抽取一考生恰为优秀生的概率为：
P=0.25+0.15=0.4．
（Ⅱ）按成绩分层抽样抽取20人时，
优秀生应抽取20×0.4=8人．
（Ⅲ）8人中，成绩在[80，90）的有：20×0.25=5人，成绩在[90，100]的有：20×0.15=3人，
从8个人中选2个人，结果共有n=${C}_{8}^{2}$=28种选法，
其中至少有一人成绩在[90，100]的情况有两种：
可能有1人成绩在[90，100]，也可能有2人成绩在[90，100]，
所以共有5×3+3=18种，
∴至少一人的成绩在[90，100]的概率$P=\frac{18}{28}=\frac{9}{14}$．

点评 本题考查频率分布表的应用，考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．